Die Bewertung Of Executive Aktien Optionen In An Intensität Basierte Framework

Die Bewertung von Executive Stock Optionen in einem Intensity-basierten Framework Transkription 1 European Finance Review 4. Kluwer Academic Publishers. Gedruckt in den Niederlanden. 211 Die Bewertung von Executive Stock Options in einem Intensitätsbasierten Rahmen PETER CARR 1 und VADIM LINETSKY 2 1 Banc of America Securities, Equity Finanzprodukte, 9 West 57. Straße, 4. Etage, New York, NY Department of Industrial Engineering und Management Sciences, McCormick School of Engineering und Angewandte Wissenschaften, Northwestern University, 2145 Sheridan Road, Evanston, IL Abstract. Dieses Papier präsentiert ein allgemeines Intensitäts-basiertes Framework für Value Executive Aktienoptionen (ESOs). Es baut auf den jüngsten Fortschritten in der Kreditrisikomodellierung auf. Die vorzeitige Ausübung oder Verfall durch freiwillige oder unfreiwillige Beschäftigungsvergütung und die vorzeitige Ausübung durch den Wunsch der Exekutive auf Liquidität oder Diversifizierung werden als exogener Punktprozess mit zufälliger Intensität je nach Bestandspreis modelliert. Es werden zwei analytisch handelbare Spezifikationen angegeben, bei denen der ESO-Wert, die erwartete Ausübungszeit oder der Verfall sowie der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder des Verfalls in geschlossener Form berechnet werden. Schlüsselwörter: Brownian Bereich, frühe Übung, Executive Stock Optionen, Feynman-Kac Formel, Verfall, Laplace Transformation, Besetzung Zeit, Punkt-Prozesse mit zufälliger Intensität. JEL-Klassifikation: G13, G39, M Einleitung Executive-Aktienoptionen (ESOs) stellen derzeit einen beträchtlichen Bruchteil vieler Unternehmen daraus Gesamtvergütung. Es ist wichtig, die Kosten dieser Optionen für die Aktionäre sowohl für die Rechnungslegung als auch aus der Sicht der Managementkontrolle genau zu beurteilen (siehe Carpenter, 1998 Foster et al., 1991 Jennergren und Naslund, 1993). Seit 1995 hat das Financial Accounting Standards Board (FASB) SFAS 123 beauftragt, eine Schätzung der Kosten der ESO-Stipendien in einer Fußnote anzugeben. Obwohl es nicht erforderlich ist, ist die empfohlene Bewertungsmethode die Verwendung der Black Scholes European Call Pricing Formel. Die vorgeschlagene Reife, die in dieser Formel verwendet wird, ist das erwartete Leben, obwohl die maximale Lebensdauer (typischerweise 1 Jahre bei Stipendium) auch verwendet werden kann. Rubinstein (1995) argumentiert aus theoretischen Gründen, dass jede Methode dazu neigen wird, eine Überbewertung zu bewirken. Ebenso sind Marquardt (1999) empir - Wir sind dankbar für die rechnerische Unterstützung von Dmitry Davydov und für Kommentare von Jim Bodurtha, Menachem Brenner, Jennifer Carpenter, Bill Margrabe und Carol Marqurdt. Sie sind nicht verantwortlich für irgendwelche Fehler. 2 212 PETER CARR UND VADIM LINETSKY bestimmt, dass beide Methoden die ökonomischen Kosten für die Anteilseigner von ESOs überschätzen. ESOs sind in der Regel lange verabschiedet amerikanischen Anrufe, die sich von Standard-Optionen unterscheiden, dass sie eine erste Wartezeit haben, während der Übung verboten ist. Obwohl es einfach ist, den Wert und die optimale Ausübungspolitik für ESOs in einem reibungslosen Markt numerisch zu bestimmen, komplizieren bestimmte institutionelle Reibungen die Bestimmung der optimalen Ausübungspolitik für ESOs. Erstens kann der Inhaber eines ESO seine Option nicht verkaufen oder übertragen. Darüber hinaus kann der Inhaber seinen Anruf nicht absichern, da Short-Positionen in der Gesellschaft s verboten sind. Demgegenüber ist der Emittent berechtigt, seine Haftung zu übertragen oder ihre Verpflichtung zu sichern. Im Allgemeinen fährt diese Asymmetrie einen Keil zwischen dem Wert des Empfängers und dem Wert für den Emittenten. Beide Werte werden durch die von Führungskräften verwendete Ausübungspolitik beeinflusst, die im Allgemeinen sowohl durch öffentlich zugängliche Informationen wie Aktienkurse als auch durch exekutivspezifische Informationen wie persönliche Portfoliozusammensetzung, Risikoaversion und die Forderung der Führungskräfte nach Liquidität bestimmt wird. Die optimale Ausübungspolitik, die von der Exekutive angewandt wird, muss nicht mit der optimalen Ausübungspolitik übereinstimmen, die in Abwesenheit dieser Reibungen herrscht, da eine frühzeitige Ausübung für Diversifizierungs - oder Liquiditätsgründe optimal sein kann, auch wenn die zugrunde liegende Aktie keine Dividenden ausschüttet. Ein zweiter Grund, warum die optimale Ausübungspolitik der Exekutive von der perfekten Marktpolitik abweichen kann, ist, dass die Exekutive die Firma entweder freiwillig oder unwillkürlich verlassen kann, während die Option am Leben ist. In diesem Fall verliert die Exekutive seine Optionen, wenn sie out-of-the-money sind, und müssen frühzeitig ausüben, wenn sie in-the-money sind. Es wurden zwei allgemeine Ansätze zur Modellierung von Führungskraftentscheidungen und zur Bewertung der Kosten für ESOs an die Firma verabschiedet. Im ersten Ansatz geht man davon aus, dass die Exekutive die Option nach einer Politik ausübt, die seinen erwarteten Nutzen unter Absicherung von Beschränkungen maximiert (Huddart, 1994 Marcus und Kulatilaka, 1994 Detemple und Sundaresan, 1998). In diesem Ansatz muss man explizit solche nicht beobachtbaren Variablen wie die Existenz des Exekutivs, seinen äußeren Reichtum und den potenziellen Gewinn aus der Veränderung seiner Beschäftigung modellieren. In dem alternativen Ansatz, man modelliert frühe Übung als eine exogene Stoppzeit, z. B. Die erste Sprungzeit eines exogenen Poisson-Prozesses, wie in Jennergren und Naslund (1993). Der Poisson-Prozess dient als Vollmacht für alles, was die Exekutive dazu veranlasst, die Option frühzeitig auszuüben, einschließlich des Wunsches nach Diversifikation oder Liquidität und freiwilliger oder unfreiwilliger Beschäftigung. Im Gegensatz zum Utility-Maximierungsansatz ist die Hazardrate oder Intensität dieses exogenen Poisson-Prozesses der einzige Parameter im Modell, der aus empirischen Daten geschätzt werden muss. In einer interessanten jüngsten Arbeit zeigt Carpenter (1998), dass dieses zweite reduzierte Formintensitäts-basierte Modell als gut oder besser als das kompliziertere Strukturmodell in empirischen Tests der beiden konkurrierenden ESO-Bewertungsmodelle bei der Vorhersage der tatsächlichen Übungsmuster für eine Stichprobe von 4 Firmen. Diese Dichotomie bei der Modellierung der Exekutivausübung entscheidet parallel zur Modellierung von Default-Ereignissen, die bei der Bewertung von Kreditrisiken-Unternehmensschulden erforderlich sind. Die 3 EXECUTIVE STOCK OPTIONEN IN EINER INTENSITÄTSBASIERTEN RAHMEN 213 Literatur über die Preiskreditrisikoschuld können in zwei Klassen unterteilt werden: Strukturmodelle und reduzierte Intensitätsmodelle. Die erste Klasse von Modellen, die auf Black und Scholes (1973) und Merton (1974) zurückgreift, modelliert die Standardveranstaltung strukturell als Utility-Maximierungsentscheid der Aktionäre (siehe Leland (1994) und Leland und Toft (1996)). Die zweite Klasse von Modellen sind reduzierte Formulare, die bei der ersten Sprungzeit eines Punktprozesses mit einer zufälligen Intensität (Standard-Hazard-Rate) exogen die Vorgabe festlegen (siehe Duffie et al., 1996 Duffie und Singleton, 1998 Jarrow und Turnbull, 1995) Jarrow et al., 1996 Lando, 1998 Madan und Unal, 1996, 1998). Davydov et al. (1998) Value Credit riskante Schulden in der Intensität-basierte Framework uisng ein Ansatz ähnlich wie unsere. Bei all diesen Modellen wird die Intensität des Punktprozesses auf empirische Daten kalibriert. Aufgrund der relativen Einfachheit der Kalibrierung und der empirischen Prüfung gewinnt die reduzierte Modellierungsphilosophie auf den Kreditmärkten eine beträchtliche Popularität. Der Beitrag dieser Arbeit ist zweifach. Zunächst entwickeln wir einen allgemeinen stochastischen Intensitätsrahmen für die Bewertung von ESOs, bei denen die frühe Ausübung oder Verfallintensität h t h (s t, t) von dem zugrunde liegenden Aktienkurs und - zeit abhängt. Zweitens schlagen wir zwei einfache analytisch tragbare Spezifikationen von Gefahrenquotenmodellen von ESOs vor. Im ersten Beispiel wird die Intensität wie folgt spezifiziert (unter der Annahme, dass die ESO ausgeübt wird): ht lambda f lambda e 1, (1) wobei S t der zugrunde liegende Aktienkurs ist, K der ESO-Basispreis ist, lambda f ist der Konstante Intensität der vorzeitigen Ausübung oder Verfall aufgrund der exogenen freiwilligen oder unfreiwilligen Beschäftigungskündigung (unabhängig vom Aktienkurs angenommen), und lambda e 1 ist die konstante Intensität der frühen Übung aufgrund des exogenen Liquiditäts - oder Diversifizierungswunsches der Exekutive positiv Und konstant, wenn die ESO in-the-money ist und null sonst (1 A ist die Indikatorfunktion des Ereignisses A e in Lambda e steht für Übung). So ist die Intensität des Verfalls, wenn die Aktie out-of-the-money ist, Lambda f (f steht für Verfall), während die Gesamtintensität der frühen Übung, wenn die Option in-the-money ist lambda f lambda e. Die integrierte Gefährdung hängt linear von der Besatzungszeit des zugrunde liegenden Aktienbestandes über dem Streik K ab (dh wenn das ESO im Geld ist) und das entsprechende ESO-Bewertungsmodell auf einige jüngste Ergebnisse bei Besatzungszeitivaten zurückgreift (siehe Akahori, 1995 Chesney Et al. 1997 Dassios, 1995 Davydov und Linetsky, 1998 Embrechts et al. 1995 Hugonnier, 1998 Linetsky, 1998, 1999 Pechtl, 1995, 1998). In dem zweiten analytisch tragbaren Beispiel wird die Intensität wie folgt spezifiziert (unter der Annahme, dass die ESO ausgeübt wird): h t lambda f lambda e (ln S t ln K). (2) 4 214 PETER CARR UND VADIM LINETSKY In diesem Fall ist die erste Kündigungsfrist immer noch unabhängig vom Aktienkurs, 1 aber die zweite Laufzeit aufgrund des Liquiditäts - oder Diversifizierungswunsches ist nun eine monoton zunehmende Funktion des Basiswertes Aktienkurs, wenn die ESO in-the-money ist und null sonst (x: x1 bezeichnet den positiven Teil von x). Die integrierte Gefährdung hängt linear von der sogenannten Brownschen Region ab und das entsprechende ESO-Bewertungsmodell stützt sich auf die Ergebnisse von Davydov, Linetsky und Lotz (1998) auf Flächenoptionen. Der Rest dieser Arbeit ist wie folgt organisiert. In Abschnitt 2 betrachten wir einen allgemeinen stochastischen Intensitätsrahmen für die Bewertung von ESOs. In Abschnitt 3 lösen wir das Modell mit der Intensitätsspezifikation nach (1). In Abschnitt 4 lösen wir das Modell mit der Intensitätsspezifikation (2). Numerische Beispiele finden sich in Abschnitt 5. Abschnitt 6 schließt das Papier ab. 2. Eine generelle Intensitätsbasierte Formulierung Wir übernehmen reibungslose Märkte, keine Dividenden, eine ständige risikofreie Rate r, und dass der zugrunde liegende Aktienkurs dem folgenden Diffusionsprozeß unter der Risikoneutralwahrscheinlichkeitsmaß Q folgt: ds t rs t dt sigma (st, t ), Wobei Wt Q eine Standard-Brownsche Bewegung ist, beginnt der Prozeß zum Zeitpunkt t bei SS und die lokale Volatilitätsfunktion Sigma (s, t) wird für alle S stetig und streng positiv angenommen , Und beschränkt als S (für alle t). Die Zeit der frühen Übung oder des Verfalls T kann als die erste Sprungzeit eines Punktprozesses mit zufälliger Intensität (Hazard Rate) h t gedacht werden, was in der Regel eine Funktion der Zeit und des zugrunde liegenden Aktienkurses ist, h t h (s t, t). Dann ist die Wahrscheinlichkeit unter Q von keinem frühen Ausübung bis zur Zeit t für einen gegebenen Aktienkursweg (siehe Bremaud (198) und Lando (1998) für Details über Punktprozesse mit zufälliger Intensität): und Q (T gtt) eth (su (3) Q (T gtt) EQ, S eth (su, u) du, wo die Erwartung in Bezug auf die risikoneutrale Maßnahme Q ist. In der Regel ist das ESO-Erteilungsdatum und tv, T be Der ESO-Ausübungstermin, der Wert bei t, T einer nicht ausgeübten ESO mit Ausübungspreis K und Fälligkeit T wird durch die risikoneutrale Erwartung gegeben: 1 Im Allgemeinen könnte man auch die Verfallintensität der Lambda fa-Funktion des Aktienkurses anstreben Dass die Exekutive eher die Firma verlassen wird, wenn der Aktienkurs im Verhältnis zum Ausübungspreis seiner ESO niedrig ist. Aus Gründen der Einfachheit gehen wir davon aus, dass Lambda f konstant ist. 5 EXECUTIVE STOCK OPTIONEN IN EINEM INTENSITZBASIERTEN RAHMEN 215 C (S, t K, T) er (tt) EQ t, s 1 (STK) EQ t, ser (tt) 1 (STK), (4) wobei T ist Eine Stoppzeit, die als die erste Sprungzeit des Punktprozesses mit der Intensität ht angenommen wird, und der Index t, s im Erwartungsoperator E t, s bedeutet, dass der Aktienkurs S zum Zeitpunkt t ist. Beachten Sie, dass wir nach Jennergren und Naslund (1993) davon ausgehen, dass das Sprungrisiko nicht preiswert ist, d. h. dass es durch die Ausarbeitung eines diversifizierten ESO-Portfolios diversifiziert werden kann. Da viele Firmen mehrere ESOs 2 ausstellen, sehen wir dies als eine vernünftige Annahme in der Praxis an. Der erste Term auf der rechten Seite der Gleichung (4) ist der Barwert der Option Auszahlung bei Fälligkeit gegeben keine frühe Übung. Der zweite Term ist der Barwert der Auszahlung zum Zeitpunkt der Ausübung, da die Option frühzeitig ausgeübt wird. Diese Zerlegung des Wertes ist analog zu einer Wertminderung, die für ausfallende Wertpapiere entsteht. Der erste Term in (4) ist analog zum Barwert der versprochenen Zahlung, der von keinem Verzug bedingt ist, während der zweite Term der Barwert der zum Zeitpunkt des Ausfalls gezahlten Wiedereinzahlungszahlung ist, wenn der Ausfall vor der Fälligkeit erfolgt. Aufgrund der Schlüsselbeziehung (3) kann die Erwartung in der Form umgeschrieben werden: e C (S, t K, T) er (tt) EQ t, s max (tv, t) er (ut) EQ t , Sthu du (STK) euths ds hu (S u K) du. Nach dem Feynman-Kac-Theorem (siehe zB Karatzas und Shreve (1992)) ist der ESO-Wert C (S, t K, T) zum Zeitpunkt t, t lt T die eindeutige Lösung für das Cauchy-Problem für die PDE: 1 Sigma 2 (S, t) s 2 2 CS rs C 2 S rc h (s, t) 1 (SK) CC t abhängig vom Anschlusszustand, (5) C (S, TK, T) (SK) . (6) Die finanzielle Bedeutung des zweiten letzten Termes auf der linken Seite von Gleichung (5) ist, dass über eine infinitesimale Zeitspanne dt eine Wahrscheinlichkeit ht dt der Exekutive besteht, die seine Option ausübt und empfängt (S t K ) Im Austausch, wenn die ESO (t gtt v) und nichts anderes (die Option ist verfallen). Neben dem ESO-Wert interessieren wir uns auch für die erwartete Ausübung oder Verfall (die erwartete ESO-Fälligkeit): T TE P, S 1 EP, S 1 T, (7) 2 Zum Beispiel untersucht Marquardt (1999) 58 Fortune 1 Firmen über einen Zeitraum von 21 Jahren und findet durchschnittlich 17 Zuschüsse pro Firma. 6 216 PETER CARR UND VADIM LINETSKY und der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder Verfall: S T E P, S 1 S T E P, S 1 S T. (8) Beachten Sie, dass diese Mengen im Gegensatz zur ESO-Wertberechnung, die unter der risikoneutralen Maßnahme Q durchgeführt wird, unter der statistischen Maßnahme P berechnet werden, wobei: ds t ms t dt sigma (st, t) st dw P ist T, SS und m ist die erwartete jährliche prozentuale Rendite der Aktie in der realen Welt (m wird als konstant angenommen). Unter Verwendung der Schlüsselbeziehung (3) (unter P) ist es leicht zu sehen, dass die Gleichungen (7) - (8) auf: und TP (T gtt) TP (TT) t dt P (T gtt) dt teth ( Su, u) du dt, (9) EP, SSTE, S e PTT h (st, t) dt STE, S e P th (su, u) du h (st, t) st dt. (1) Carpenter (1998), Huddart und Lang (1996) und Marquardt (1999) geben alle empirisch erwarteten Zeiten der Ausübung und durchschnittlichen Aktienkurse zum Zeitpunkt der Ausübung ihrer Proben an. Angesichts der Werte der Parameter m, sigma, S, t v und t kann man die Übungs - oder Verfallsintensität h t auf die empirischen Daten unter Verwendung der Gleichungen (9) und (1) kalibrieren. 3. Die Besatzungszeit-Spezifikation: Ein Schritt-Optionsmodell für die Bewertung von ESOs In diesem Abschnitt beschränken wir die im vorherigen Abschnitt besprochene Einrichtung mit dem Ziel, explizite Lösungen für die interessanten Mengen zu erhalten. Wir nehmen eine konstante Volatilität an, d. h. Sigma (s, t) Sigma, und daß die Option ausgeübt wird, d. h. tv (wir erstrecken uns auf den Fall von Optionen, die noch nicht am Ende dieses Abschnitts liegen). Wir betrachten auch eine besonders einfache Spezifikation für die Ausübung oder Verfallintensität: ht lambda f lambda e 1, (11) wobei S t der zugrunde liegende Aktienkurs ist, K der ESO-Basispreis ist, lambda f die konstante Intensität der frühen Ausübung oder Verfall aufgrund der exogenen freiwilligen oder unfreiwilligen Beschäftigungsvergütung (unabhängig vom Aktienkurs angenommen), 7 EXECUTIVE STOCK OPTIONEN IN EINEM INTENSITÄTSBASIERTEN RAHMEN 217 und lambda e 1 ist die konstante Intensität der frühen Übung aufgrund der exogenen Exekutive Der Wunsch nach Liquidität oder Diversifikation ist positiv und konstant, wenn die ESO in-the-money und null ist. Unter diesen Annahmen vereinfacht sich der anfängliche (dh t) ESO-Wert (4) auf 3. C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TEQ, S e lambda etau K (T) (STK) (lambda F lambda e) e (rlambda f) t EQ, S e lambda etau K (t) (S t K) dt, (12) wobei tau K (t) t 1 du die Besetzungszeit des Geldes ist Region bis zur Zeit t. Diese Erwartung kann als ein Portfolio von up-andout geometrischen Schritt-Optionen mit Knock-out-Rate Lambda e und Knock-out-Barriere gleich dem Streik ausgedrückt werden: C (SK, T lambda f, lambda e) e lambda f TC lambda e ( (S t, k, k) dt, (13) wobei C lambda e (S t, k, k) der Wert eines Aufwärtspulses ist, (Siehe Linetsky (1998, 1999)): C lambda e (S t, k, k) e (s t, k, k) e Rt EQ, S e lambda etau K (t) (S t K). (14) Die Auszahlung bei Fälligkeit t eines geometrischen Schrittaufrufs kann als die eines Standardrufs interpretiert werden, mit der Ausnahme, dass der zugrundeliegende Anteil fiktiv pfadabhängig ist, da er von der Belegungszeit über dem Streik abhängt: e lambdatau K (t ). Mit anderen Worten verliert ein geometrischer Schrittaufruf einen gegebenen Bruchteil seiner fiktiven pro Zeiteinheit über der Barriere. Geben Sie die folgende Notation ein: x: 1 Sigma ln (SK), nu: 1 Sigma (r Sigma 2) Die Erwartung in Gleichung (14) reduziert sich auf: 2), xi: r nu2 2. (15) C lambda e (S T, k, k) e (xilambda e) t nux K lambdae (nu sigma, x, t) lambdae (nu, x, t), (16) 3 Beachten Sie, dass die konstante Verfallintensität lambda f zum Diskontsatz addiert wird In Gleichung (12). Intuitiv verringert die Möglichkeit des Verfalls den Wert des ESO in der gleichen Weise, wie die Möglichkeit des Verzuges den Wert einer ausfallenden Bindung senkt, und die Intensität des Verfalls wird dem Risiko-freien Tarif als Credit-Spread hinzugefügt. 8 178 PETER CARR UND VADIM LINETSKY wobei die Funktion definiert ist als: rho (nu k, x, t): E, xe nuw t rho (t) 1, (17) wobei die Erwartung E, x von der Brownschen Bewegung abhängig ist W t beginnend bei x bei t und (t) t 1 du ist die Besetzungszeit der negativen Halblinie (,) bis zur Zeit t. 4 Diese Erwartung wird in geschlossener Form in Linetsky (1999) berechnet. Für die Bequemlichkeit des Lesers ist die explizite analytische Form der Funktion in Anhang A gegeben. Somit liefern die Gleichungen (13) und (16) eine einfache analytische Lösung für den ESO-Wert unter der Spezifikation (11) für die Ausübung und Verfallintensität . Die erwartete Zeit der Ausübung oder des Verfalls (9) unter dieser Spezifikation lautet: T e (lambda f lambda e nup 2 2) t nu P x lambdae (nu P, x, t) dt, (18) wobei (erinnern Sie sich, dass T und ST werden unter dem statistischen Maß P berechnet: nu P: 1 Sigma (m Sigma 2 2). (19) Der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder des Verfalls ist: ST e (Lambda f Lambda e nu 2 P 2) T nu P x K Lambdae (nu P Sigma, x, t) K e (lambda f lambda e Nu 2 P 2) t nu P x Lambda f Lambdae (nu P Sigma, x, t) Lambda e Lambdae (nu P Sigma, x, t) dt. (2) Betrachten wir nun den Fall t v gt, d. h. die Option ist noch nicht ausgegeben. Angenommen, S v S (t v) ist der Aktienkurs am Ausübungsdatum. Der ESO-Wert auf dem Wartezeit-TV ist gegeben durch C (S v K, T tv lambda f, lambda e), definiert durch Gleichung (13) (Beachten Sie, dass die Zeit bis zur Fälligkeit nun gleich T tv ist, also müssen wir ersetzen TT tv in Gleichung (13)). Dann wird der ESO-Wert zum Zeitpunkt t berechnet, indem man die Erwartung annimmt: C (S, K, tv, t lambda f, lambda e) e (rlambda f) tv C (S v K, T tv lambda f, lambda e) p Q (S v, tv S,) dS v, (21) 4 Für den Hintergrund der Besatzungszeiten und anderer Funktionale der Brown'schen Bewegungs - und Diffusionsprozesse sowie der Feynman-Kac-Berechnungen ihrer Gesetze siehe Karatzas und Shreve ( 1992), Borodin und Salminen (1996) und Revuz und Yor (1994). 9 EXECUTIVE STOCK OPTIONEN IN EINEM INTENSITÄTSBASIERTEN RAHMEN 219 wobei p Q die (logarithmische) Wahrscheinlichkeitsdichte des Aktienkurses am Ausübungstermin ist, angesichts des bekannten Aktienkurses heute (zum Zeitpunkt t): (S v, tv S,) Exp S microtv, micro r sigma 2 S v 2pisigma2 tv 2sigma 2 tv 2. (22) 4. Die Brownian Area Spezifikation: Ein Bereich Option Modell für die Bewertung von ESOs Wie im vorherigen Abschnitt, nehmen wir zunächst an, dass die Option bereits ausgeübt wird, Dh fernseher Unter der Besatzungszeit ist die Ausübung oder Verfallintensität über dem Streik konstant. Eine analytisch tragbare Alternative ist: ()) ht lambda f lambda e (ln S t ln K) St lambda f lambda e (ln. (23) K In diesem Fall ist die erste Amtszeit wegen freiwilliger oder unfreiwilliger Beschäftigungsvergütung noch unabhängig Des Aktienkurses, aber die zweite Laufzeit aufgrund des Wunsches nach Liquidität oder Diversifikation ist nun eine zunehmende Funktion der Geldmäßigkeit S t K, wenn die ESO in-the-money ist und null sonst (x bezeichnet den positiven Teil von x). Eine ähnliche Spezifikation für die Standard-Hazard-Rate wurde von Davydov, Linetsky und Lotz (1998) verwendet, um Kreditrisiko-Unternehmensschulden zu modellieren. Der ESO-Wert (4) unter dieser Spezifikation hat die Form:) C (SK, T lambda f, Lambda e) e (rlambda f) TEQ, S exp (lambda e (lns t ln K) dt (STK) t) e (rlambda f) t EQ, S exp (lambda e (lns u lnk) du () St Lambda f lambda e ln (S t K) dt (24) K Um diese Erwartung zu berechnen, stellen wir zunächst fest, dass der Aktienkursvorgang wie folgt dargestellt werden kann: S t Ke sigma (nutw t), (25) wobei W t ist Eine Brownsche Bewegung beginnend bei x (definiert in Gleichung (15)) zum Zeitpunkt t. Dann ist nach dem Girsanovschen Theorem: C (SK, T lambda f, lambda e) e (rlambda f) TE, xe nu (w T x) nu2 2 T sigmalambda e W t dt (Ke sigmaw TK) e (rlambda f) T E, xe nu (wtx) nu2 2 t sigmalambda te W u du lambda f sigmalambda e W t 10 22 PETER CARR UND VADIM LINETSKY (Ke sigmaw t K) dt e (xilambda f) T nux K sigmalambdae (nu sigma, x (Nu, x, t) e nux K e (xilambda f) t lambda f sigmalambdae (nu sigma, x, t) sigmalambdae (nu sigma, x, t) lambda f sigmalambdae (nu, x, t) Sigmalambda e nu sigmalambdae (nu, x, t) sigmalambda e dt, (26) nu wo wir die folgende Notation eingeführt haben: alpha (nu k, x, t): E, xe nuw t alphaa t 1, (27) A t : T W u du. (28) Das funktionale A t heißt Brown'scher Bereich bis zum Zeitpunkt t (siehe Perman und Wellner, 1996). Es ist gleich der (zufälligen) Fläche unter dem positiven Teil eines Brownschen Probenpfads von Null bis Zeit t. Die Erwartung in Gleichung (27) wird von Davydov, Linetsky und Lotz (1998) über den Feynman-Kac-Theorem berechnet: alpha (nu k, x, t) e nuy E, xe alphaa t W t dy kke nuy L 1 t Dy, (29) wobei die Erwartung innerhalb des Integrals als inverse Laplace-Transformation in s des Resolvent-Kerns G alpha (x, ys) ausgedrückt wird. Seine analytische Form ist in Anhang B gegeben. 5 Die erwartete Zeit der Ausübung oder Verfall nach dieser Spezifikation lautet: T e (lambda f nup 2 2) t nu P x sigmalambdae (nu P, x, t) dt, (3) wobei Nu P ist in Gleichung (19) gegeben. Der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder des Verfalls ist: 5 Die Berechnung dieser Funktionalität liegt im Geiste vor den Berechnungen von Geman und Yor (1993) für asiatische Optionen und Geman und Yor (1996) für Doppelbarrierenoptionen und stützt sich darauf Auf der Feynman-Kac-Formel. 11 EXECUTIVE STOCK OPTIONEN IN EINEM INTENSITZBASIERTEN RAHMEN 221 ST e (lambda f nup 2 2) T nu P x K sigmalambdae (nu P sigma, x, t) K e (lambda f nup 2 2) t nu P x lambda f Sigmalambdae (nu P sigma, x, t) sigmalambda e sigmalambdae (nu P sigma, x, t) nu P dt. (31) Der Fall tv gt, d. h. die Option ist noch nicht ausgeübt, wird ähnlich wie in Gleichung (21) behandelt. 5. Numerische Beispiele Um unsere Modelle zu veranschaulichen, betrachte ich eine zehnjährige ESO, die am 6. Geld gesammelt wurde (S K 1) und sofort (t v). Wir gehen davon aus, dass die zugrunde liegenden Aktien eine Volatilität von 3 pro Jahr haben, keine Dividenden ausschüttet, die risikofreie Rate beträgt 5 pro Jahr und die erwartete jährliche prozentuale Rendite der Aktie unter der statistischen Maßnahme P beträgt m 15 pro Jahr (erinnern daran, dass die Die erwartete Ausübung oder den Verfall und der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder Verfall werden nach der statistischen Maßnahme berechnet). Die Tabellen I und II geben den ESO-Wert zum Zeitpunkt des Gewährungszeitpunkts, die erwartete Ausübungszeit oder den Verfall sowie den erwarteten Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder des Verfalls als Funktionen der Parameter des Punktprozesses Lambda f und Lambda e unter dem Beruf Zeit-Spezifikation (11) und der Brown'schen Bereichsspezifikation (23). Für lambda f lambda e entspricht der ESO-Wert dem zehnjährigen Black-Scholes-Wert, die erwartete Ausübungszeit entspricht der ESO-Fälligkeit (zehn Jahre) und der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung ist gleich e 1m S (keine frühe Übung oder Verfall). Da die Zinssätze lambda f und lambda e steigen, sinken der ESO-Wert, die erwartete Ausübungs - oder Verfallszeit und der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder des Verfalls alle. Bei T und S T kann man unsere Modelle kalibrieren, indem wir die Intensitätsparameter lambda f und lambda e und die Wert-ESOs mit diesen Parameterwerten sichern. Carpenter (1998) berichtet, dass durchschnittliche Ausübungszeiten für 1 Jahr ESOs in ihrer Stichprobe etwa 5,8 Jahre sind, wobei der durchschnittliche Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung von etwa 2,8 mal dem ESO-Basispreis liegt. Marquardt (1999), der eine andere Stichprobe von ESO-Stipendien betreibt, berichtet, dass die durchschnittlichen Ausübungszeiten für 1 Jahr ESO in ihrer Stichprobe etwa 5,6 Jahre betragen, wobei der durchschnittliche Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung von etwa dem 2,2fachen des ESO-Basispreises liegt . So sind empirisch typische Übungszeiten im Bereich von fünf bis sechs Jahren, wobei der Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung von zwei - bis dreimal dem ESO-Streik liegt. Betrachten wir ein Beispiel des Besatzungszeitmodells mit Lambda f 8 pro Jahr und Lambda e 12 pro Jahr. Die erwartete Ausübungszeit für diese Intensitäten beträgt 4,99 Jahre, wobei der erwartete Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung des 2,31-fachen des ESO 6 Marquardt (1999) festgestellt hat, dass 85 der 987 ESOs in ihrer Stichprobe mit zehn Jahren bis zur Fälligkeit ausgegeben wurden. Sie sagt, dass die meisten mit Streik gleich Aktienkurs bei Stipendium ausgegeben werden. 12 222 PETER CARR UND VADIM LINETSKY Tabelle I. Besatzungszeit Modell. ESO-Werte, erwartete Zeiten der Ausübung oder des Verfalls und der erwarteten Aktienkurse zum Zeitpunkt der Ausübung oder des Verfalls als Funktionen der Intensitätsparameter lambda f und lambda e. Parameter: K 1, S 1, T 1 Jahre, Sigma .3, r5, m .15, tv, keine Dividenden lambda e lambda f ESO-Wert Erwartete Ausübungs - oder Verfallszeit (Jahre) Erwarteter Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder Verfall gegen Streik 13 EXECUTIVE STOCK OPTIONEN IN EINEM INTENSITÄTSBASIERTEN RAHMEN 223 Tabelle II. Bereichsmodell. ESO-Werte, erwartete Zeiten der Ausübung oder des Verfalls und der erwarteten Aktienkurse zum Zeitpunkt der Ausübung oder des Verfalls als Funktionen der Intensitätsparameter lambda f und lambda e. Parameter: K 1, S 1, T 1 Jahre, Sigma .3, r5, m .15, tv, keine Dividenden lambda e lambda f ESO-Wert Erwartete Ausübungs - oder Verfallszeit (Jahre) Erwarteter Aktienkurs zum Zeitpunkt der Ausübung oder Verfall gegen Streik 14 224 PETER CARR UND VADIM LINETSKY Streik. Der ESO-Wert, der diesen Parametern entspricht, ist im Gegensatz dazu die FASB-empfohlene Bewertungsmethode, um die Black Scholes European Call Pricing Formel zu verwenden. Die in dieser Formel verwendete Laufzeit kann entweder das Fälligkeitsdatum (zehn Jahre in diesem Fall) oder eine Schätzung des erwarteten Lebens (4,99 Jahre in diesem Fall) sein. Der entsprechende Black-Scholes-Wert eines zehnjährigen Aufrufs ist Es ist 56.38 höher als der von unserem Modell vorhergesagte Wert. Der Black-Scholes-Wert eines 4,99-jährigen Aufrufs beträgt 35,92, 6,87 höher als der von unserem Modell vorhergesagte Wert. Somit sind die nach dem Intensitäts-basierten Modell berechneten ESO-Werte deutlich niedriger als die entsprechenden Black-Scholes-Werte, was das suboptimale Verhalten der Exekutive berücksichtigt. Dies hat erhebliche Auswirkungen auf die Rechnungslegung. Wenn man die ESOs für die Rechnungslegung mit dem Black-Scholes-Modell bewerten würde, wie es von FASB empfohlen wurde, würde man ihre echten Kosten für die Aktionäre deutlich übertreiben und die Unternehmen, die ESOs gewähren, ungerecht zu bestrafen. 6. Schlussfolgerung und Richtungen für die zukünftige Forschung Der Beitrag dieser Arbeit ist zweifach. Zunächst entwickeln wir ein allgemeines stochastisches Intensitäts-basiertes Framework für die Bewertung von Aktienoptionen. Zweitens schlagen wir zwei analytisch tragbare Spezifikationen für die Trainings - und Verfallsintensität vor. Beide Vorgaben haben die Form (unter der Annahme, dass die ESO ausgeübt wird): ht lambda f lambda e phi (st) 1, wobei lambda f die konstante Poisson-Intensität der frühen Ausübung oder Verfall aufgrund der vorzeitigen freiwilligen oder unfreiwilligen Beschäftigungsbeendigung und lambda e phi ist (St) 1 ist die frühe Ausübung Intensität aufgrund der Exekutive Wunsch nach Liquidität oder Diversifizierung. Die letztere Intensität ist nur dann positiv, wenn die Option in-the-money ist. Im Rahmen der ersten Spezifikation, Phi (s) 1. Dies führt zu dem analytisch tragbaren Besatzungszeitmodell für ESOs, wo die Wahrscheinlichkeit einer vorzeitigen Ausübung aufgrund der Loyalitäts - oder Diversifizierungswürdigkeit der Exekutive von der Besatzungszeit des In-the - . Unter der zweiten Spezifikation, Phi (s) ln S ln K, was zu dem analytisch tragbaren Brown'schen Bereichsmodell führt. Beide Vorgaben spiegeln die Tatsache wider, dass es zwei unterschiedliche ökonomische Faktoren gibt, die die Exekutivausübung beeinflussen. Dies ist der Wunsch der Exekutive nach Liquidität oder Diversifikation, die nur eine Ausübung ausübt, wenn die Option ausgeübt wird, und die Möglichkeit einer freiwilligen oder unfreiwilligen Beschäftigungskündigung (dies ist gleichermaßen wahrscheinlich, wenn die Option in - oder out-of ist - das Geld und wird davon ausgegangen, dass es unabhängig vom Aktienkurs ist). Wir argumentieren, dass unsere Spezifikation mit zwei getrennten Intensitätsparametern eine umfassendere Beschreibung der wirtschaftlichen Situation zur Verfügung stellt als die vorherige Arbeit 7, die eine frühzeitige Ausübung und Verfall aus einem Poisson-Prozess mit einem einzigen konstanten Intensitätsparameter unabhängig vom Aktienkurs modellierte. 7 Siehe Shimko (199) und Jennergen und Naslund (1993) für den Spezialfall unseres Modells mit Lambda e. 15 EXECUTIVE STOCK OPTIONEN IN EINEM INTENSITÄTSBASIERTEN RAHMEN 225 Unsere Ergebnisse können in mehrfacher Hinsicht weiter ausgebaut werden. Zuerst werden in der Praxis Unternehmen die Bedingungen der zuvor ausgegebenen ESOs zurücksetzen, vor allem, wenn rückläufige Aktienkurse die Option tiefes Out-of-the-money verschoben haben. In einigen interessanten neueren Arbeiten entwickeln Brenner, Sundaram und Yermack (1998) ein Modell, um ESOs zu bewerten, was die Möglichkeit der Neubewertung ausmacht. Bei der Vertreibung geht es darum, einen neuen Basispreis anzugeben, wenn der Aktienkurs deutlich zurückgeht. 8 Wenn die Option umgerechnet wird, wird der neue Basispreis angegeben (in der Praxis wird der neue Streik oft gleich dem damaligen Aktienkurs gesetzt, d. h. die Option wird umgerechnet). Brenner, Sundaram und Yermack (1998) stellen fest, dass die ESO, deren Ausübungspreis K in K das erste Mal, wenn der Aktienkurs unter eine vorgegebene Barriere B fällt Portfolio eines Down-and-Out-Aufrufs mit dem Ausübungspreis K (alter Streik) und einem Down-and-In-Aufruf mit dem Streik K (neuer Streik). Dann werden die Standard-Barrier-Option Bewertungsformeln verwendet, um die ESO zu bewerten (siehe zB Rubinstein und Reiner (1991)). Unser Ansatz zur Modellierung von frühen Ausübung und Verfall kann auf ESOs, die Neubildung auf diese Weise durch Hinzufügen einer niedrigeren Barriere für unsere Analyse erweitert werden. Consistent with our approach to modeling forfeiture and early exercise, an alternative approach to modelling repricing is to assume that it occurs at the first jump time of a point process, with some intensity dependent on the stock price. One possible (and analytically tractable) choice would be: h t lambda r 1 , where H is some barrier set at or below the strike K, andlambda r is constant. We note that the model of Brenner, Sundaram, and Yermack (1998) arises as a special case of this framework by letting lambda r approach infinity. A second possible (and analytically tractable) choice for the specification of the repricing intensity would be: h t lambda r (ln H ln S t ) , where again H K, andlambda r is constant. As in the first specification, the probability of repricing in this model is zero if the option is in-the-money and positive when the option is out - of-the-money. Now, however the probability of repricing increases as the stock price declines below the barrier H. Second, our methodology can be extended to indexed ESOs. Johnson and Tian (1999) design and develop a pricing model for an ESO with a strike price indexed to a benchmark index. The indexed option filters out common risks beyond the executive s control, thereby increasing the efficiency of incentive contracts by focusing them on the relative performance of the company stock relative to a benchmark. Johnson and Tian (1999) derive the ESO pricing formula based on 8 The empirical evidence in Chance, Kumar, and Todd (1999) suggests that ESOs are usually repriced when the stock declines by about 25 16 226 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Margrabe s (1978) exchange option formula, ignoring the effects of early exercise and forfeiture. Our approach can be used to relax the latter assumption. A third extension of this line of research would involve valuing ESOs of companies which pay sizeable dividends. Formally, this is an extension of our results to time and stock price dependent intensity which becomes infinite if the stock price is above the critical stock price at an ex-dividend date. This extension would be most relevant for firms such as utilities which typically have large dividends and low volatilities. Finally, our methodology can be applied to value other assets. For example, it is well known that mortgages are not usually prepaid optimally and that companies often call their debt late. Potential explanations for late calling include bounded rationality, signalling phenomena, or agency costs. The latter two explanations account for the realistic possibility that the decision depends on private as well as public information. A model in which the probability of prepayment or call depends on the interest rate (and stock prices in the case of callable convertibles) might tractably capture the behavior of investors or managers more reliably than requiring that decisions be based on publicly available information. In general, the implications for asset pricing of optimizing behavior based on both public and private information is a fascinating avenue for future research. Appendix A. The expectation E, x e nuw T rho (T ) 1 Let tltt. Introduce the following notation: d 1 d 3 d 5 d 7 k x nut T, d 2 d 1 sigma T, k x nut T, d 4 d 3 sigma T, k x nut t, d 6 d 5 sigma t, k nut t, d 8 d 7 sigma t, C 1 1 x2 T t nux, C 2 t 12 C 1 t 32 xk, C 3 C 1 sigmax. Then the function rho (nu k, x,t ) E x e nuw T rho (T ) 1 (Linetsky, 1999): is given by 17 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 227 Region I: k andx rho I nu2 (nu k, x,t ) enux 2 T N(d 1 ) e nux nu2 2 T N(d 3 ) Region II: k andx 9 II rho (nu k, x,t ) Region III: k andx III rho e nux (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 32 (1 e rho(t t) )e nu2 2 t 2pirho(T t) 32 e x2 2(T t)dt (nu k, x,t ) rho I (nu, x,t) e rhot rho II ( nu k, x, t ) Region IV: k andx where IV rho N(x) 1 2pi x II rho nun(d5 ) t 12 N (d 5 ) dt nuc1 N(d 7 ) C 2 N (d 7 ) ( nu, x, t ) (nu k, x,t ) II rho (nu, x,t) e rhot rho I ( nu, x, t ) ( nu k, x, t ), I rho e z2 2 dz, N (x) dn(x) dx is the cumulative standard normal and its density. B. The expectation E, x e nuw t alphaa t 1 Introduce the following notation: 1 2pi e x2 2 y 1 (2alpha) 23 (2s 2alphay), y 2 (2alpha) 23 2s, y 3 (2alpha) 23 (2s 2alphax), W plusmn 2sAi(y 2 ) plusmn (2alpha) 13 Ai (y 2 ), V 2sBi(y 2 ) (2alpha) 13 Bi (y 2 ), where Ai(z) and Bi(z) are Airy functions defined by (Abramowitz and Stegun, 1965): Ai(z) 1 ) cos (uz u3 du, pi 3 Bi(z) 1 ) ) exp (uz u3 sin (uz u3 du. pi For k , the function rho II (nu, x,t) is defined as a limit of the integral for k. rho II(nu, x,T) lim k rho II (nu k, x, T ). 18 228 PETER CARR AND VADIM LINETSKY Then the function G alpha (x, y s) entering the expression (29) and defined as the Laplace transform e st E, x e alphaa t W t dy dt G alpha (x, y s)dy is given by (Davydov et al. 1998): Region I: x y G I alpha (x, y s) 2Ai(y 1) e 2sx, W Region II: x y ( G II 1 alpha (x, y s) e 2s(x y) W ) e 2s(xy), 2s W Region III: y x G III alpha (x, y s) GII(y, x s), Region IV: y x G IV alpha (x, y s) GI alpha (y, x s), Region V: y x G V alpha (x, y s) 2piAi(y 3) (2alpha) 13 Region VI: x y alpha Bi(y 1 ) V Ai(y 1 ), W G VI alpha (x, y s) GV alpha (y, x s). The Airy functions are computed using the asymptotic expansions found in Abramowitz and Stegun (1965). To compute the inverse Laplace transform in Equation (29) numerically, we employ the Euler algorithm developed by Abate and Whitt (1995). This algorithm was previously applied to option pricing problems by Fu, Madan, and Wang (1998) and Davydov and Linetsky (1998). Then the integral in y in (29) is calculated numerically. Finally, (26) gives the ESO value under the forfeiture and early exercise intensity specification (23). References Abate, J. and Whitt, W. (1995), Numerical inversion of Laplace transforms of probability distributions, ORSA Journal of Computing 7, Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (1965), Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York. Akahori, J. (1995), Some formulae for a new type of path-dependent option, The Annals of Applied Probability 5(2), 19 EXECUTIVE STOCK OPTIONS IN AN INTENSITY-BASED FRAMEWORK 229 Black, F. and Scholes, M. 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It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of exercise or forfeiture are calculated in closed-form. JEL classification: G13, G39, M41. Wenn Sie Probleme beim Herunterladen einer Datei haben, überprüfen Sie, ob Sie die richtige Anwendung haben, um sie zuerst anzuzeigen. Bei weiteren Problemen lesen Sie die IDEAS-Hilfeseite. Beachten Sie, dass diese Dateien nicht auf der IDEAS-Website sind. Bitte sei geduldig, da die Dateien groß sein können. Da der Zugriff auf dieses Dokument eingeschränkt ist, können Sie nach einer anderen Version unter Related research (weiter unten) suchen oder nach einer anderen Version suchen. Article provided by European Finance Association in its journal Review of Finance . Volume (Year): 4 (2000) Issue (Month): 3 () Pages: 211-230 Find related papers by JEL classification: G13 - Financial Economics - - General Financial Markets - - - Contingent Pricing Futures Pricing G39 - Financial Economics - - Corporate Finance and Governance - - - Other M41 - Business Administration and Business Economics Marketing Accounting Personnel Economics - - Accounting - - - Accounting No references listed on IDEAS You can help add them by filling out this form. Zitate werden durch das CitEc-Projekt extrahiert. Abonnieren Sie den RSS-Feed für diesen Artikel. Dieser Artikel ist nicht auf Wikipedia, auf einer Leseliste oder unter den Top Items auf IDEAS aufgeführt. 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The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of. This paper presents a general intensity-based framework to value executive stock options (ESOs). It builds upon the recent advances in the credit risk modeling arena. The early exercise or forfeiture due to voluntary or involuntary employment termination and the early exercise due to the executives desire for liquidity or diversification are modeled as an exogenous point process with random intensity dependent on the stock price. Two analytically tractable specifications are given where the ESO value, expected time of exercise or forfeiture, and the expected stock price at the time of exercise or forfeiture are calculated in closed-form. JEL classification: G13, G39, M41. Keywords: Brownian area early exercise executive stock options Feynman-Kac formula forfeiture Laplace transform occupation time point processes with random intensity Journal Article. 0 words. Subjects: Financial Law Financial Institutions and Services Financial Markets Full text: subscription required